Kvintil je statistická míra polohy (typ kvantilu), jež rozděluje uspořádaný soubor hodnot do pěti stejně velkých částí. Každá část tedy obsahuje 20 % ze všech pozorování. Existují 4 kvintily, označované jako Q1/Q0,2, Q2/Q0,4, Q3/0,6 a Q4/0,8.
Spolu s dalšími kvantily jej můžete spočítat u kvantitativních proměnných a ordinálních proměnných. U druhé skupiny je výpočet možný za předpokladu rovnoměrného rozložení dat a dostatečného počtu pozorování v každé kategorii (např. u školních známek, kde předpokládáme stejný rozdíl mezi jednotlivými stupni známkování).
Kvintily se počítají podle tohoto vzorce (viz příklad níže):
\(Q_k \) označuje pořadí hodnoty k-tého kvintilu v souboru vzestupně seřazených dat (k = 1 pro první kvintil, k = 2 pro druhý kvintil, k = 3 pro třetí kvintil a k = 4 pro čtvrtý kvintil).
\(n \) je počet hodnot v datovém souboru. V praxi kvintily počítáme s pomocí statistických programů.
V případě, že výsledkem není celé číslo, upravte výsledek lineární interpolací mezi dvěma sousedními hodnotami v uspořádaném datovém souboru. Její vzorec je následující (viz příklad níže):
\( x_1 \) a \( x_2 \) je menší, resp. větší pořadí hodnoty, pro které provádíme interpolaci. \( y_1 \) a \( y_2 \) je pak menší, resp. větší hodnota, které interpolujeme.
Zakupte si balíček 2 nebo více vybraných kurzů a ušetřete
Pozor – aplikace pro statistickou analýzu, jako je Excel a jazyk R, nevyužívají pro získání výsledku lineární interpolaci, ale složitější postupy. Výsledky se proto mohou od ručního výpočtu lišit.
Využití kvintilů
Kvintil nachází široké využití v sociálních vědách, zejména v analýze socioekonomických dat. Jeho aplikace je cenná např. pro určení rozdělení příjmové nerovnosti, kde pomáhá identifikovat rozsah příjmů v různých částech populace.
V marketingu a obchodní sféře mohou kvintily pomoci segmentovat trh podle výše příjmů, spotřebitelského chování nebo jiných metrik. V oblasti vzdělání můžeme díky kvintilům porovnávat skupiny studentů podle výsledků zkoušek a odhalovat potenciální nerovnosti.
V přítomnosti odlehlých hodnot je vhodnější využít jiné typy kvantilů – decily nebo percentily, které poskytují ještě detailnější pohled na data.
Kvintily také nejsou nejvhodnější volbou při analýze dat s velmi malým vzorkem (do 10 hodnot), kde by segmentace do pěti částí mohla vést k přílišnému zjednodušení a zkresleným výsledkům – v takovém případě zvolte pro interpretaci dat průměr, medián a rozptyl.
Příklad výpočtu kvintilů
Vaším úkolem je spočítat hodnoty kvintilů pro měsíční příjem domácností. K dispozici máte tato data (v tisících Kč/měsíc): 28, 34, 22, 50, 46, 31, 38, 27, 25, 33, 35, 37, 45, 32, 47, 44, 12, 165, 15.
Prvním krokem je vzestupné seřazení hodnot:
| Pořadí hodnoty | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| Měsíční příjem (tis. Kč) | 12 | 15 | 22 | 25 | 27 | 28 | 31 | 32 | 33 | 34 |
| Pořadí hodnoty | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | |
| Měsíční příjem (tis. Kč) | 35 | 37 | 38 | 44 | 45 | 46 | 47 | 50 | 165 |
Pro výpočet 1. kvintilu dosadíme tyto hodnoty do výše uvedené rovnice:
Q1 odpovídá 4. hodnotě, tedy měsíčnímu příjmu 25 000 Kč u domácností ve vzorku.
Stejným způsobem spočítáme i 2., 3. a 4. kvintil:
Q2 odpovídá 8. hodnotě (32 000 Kč/měsíc), Q3 odpovídá 12. hodnotě (37 000 Kč/měsíc) a Q4 odpovídá 16. hodnotě (46 000 Kč/měsíc).
Příklad výpočtu kvintilů s lineární interpolací
Vyjdeme ze stejných dat jako v předchozím příkladu, pouze přidáme navíc jednu hodnotu (měsíční příjem domácnosti 78 000 Kč):
| Pořadí hodnoty | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| Měsíční příjem (tis. Kč) | 12 | 15 | 22 | 25 | 27 | 28 | 31 | 32 | 33 | 34 |
| Pořadí hodnoty | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| Měsíční příjem (tis. Kč) | 35 | 37 | 38 | 44 | 45 | 46 | 47 | 50 | 78 | 165 |
Opět dosadíme hodnoty do vzorce pro výpočet prvního kvintilu:
Pořadí číslo 4,2 (\( x \)) samozřejmě neexistuje. Proto musíme provést lineární interpolaci mezi hodnotami na 4. a 5. místě (\( x_1 \) a \( x_2 \)). Tyto hodnoty (25 000 a 27 000 Kč měsíčně, tedy \( y_1 \) a \( y_2 \)) dosadíme do příslušného vzorce (viz výše):
Hodnota 1. kvintilu se tedy rovná 26 600 Kč/měsíc. Stejným postupem se u 2., 3. a 4. kvintilu dostaneme k následujícímu pořadí hodnot:
Po použití lineární interpolace pak vychází tyto hodnoty:
- 2. kvintil = 32 400 Kč/měsíc,
- 3. kvintil = 37 600 Kč/měsíc,
- 4. kvintil = 46 800 Kč/měsíc.
Výpočet kvintilů v Excelu
# buňky A1 až A100 obsahují naměřené hodnoty
# funkce pro výpočet kvintilů
=PERCENTILE.INC(A1:A100, 0.2) # pro výpočet Q0,2/Q1
=PERCENTILE.INC(A1:A100, 0.4) # pro výpočet Q0,4/Q2
=PERCENTILE.INC(A1:A100, 0.6) # pro výpočet Q0,6/Q3
=PERCENTILE.INC(A1:A100, 0.8) # pro výpočet Q0,8/Q4Výpočet kvintilů v jazyce R
# naměřené hodnoty
data <- c(3, 5, 6, 7, 8)
# funkce pro výpočet kvintilů
quantile(data, probs = c(0.2, 0.4, 0.6, 0.8))
# funkce pro výpočet kvintilů lineární interpolací
quantile(data, probs = c(0.2, 0.4, 0.6, 0.8), type = 6)
